交叉熵的数学推导与代码实现

简单介绍交叉熵（Cross Entropy）

基本概念

什么是交叉熵？

交叉熵（Cross Entropy）是深度学习中最常见的损失函数之一，尤其在分类任务中被广泛应用。它结合了信息论与概率论的思想，能有效衡量模型输出分布与真实分布之间的差异。

信息熵

信息熵：衡量分布不确定性的指标。
$$
H(X) = -\sum^{n}_{i=1}p(x_i)log(p(x_i))
$$

• X: 事件
• $p(x_i)$:发生第i种现象的可能性。

系统越是有序，信息熵越低，反之越混乱值越高。

交叉熵（Cross Entropy）

交叉熵：用于衡量两个概率分布之间的距离：

$$
H(p,q) = -\sum^{n}_{i=1}p(x_i)log(q(x_i))
$$

• $p(x_i)$:真实分布（ground truth）
• $q(x_i)$：模型预测分布

若p=q：交叉熵最小。

数学推导

二分类任务（Binary Classification）

真实标签$∈{0,1}$, 模型的输出预测为$\hat y ∈(0,1)$,损失函数：

$$
\mathcal{L} = -[y \log(\hat{y}) + (1 - y)\log(1 - \hat{y})]
$$

多分类（Multi-class Classification）

对于 𝐶类问题，模型输出为经过 softmax 的概率分布 $\hat y$，真实标签为 one-hot 向量 𝑦，损失函数为：
$$\mathcal{L} = -\sum_{i=1}^C y_i \log(\hat{y}i)
$$
由于one-hot只有目标类为1，公式简化为：
$$\mathcal{L} = -\log(\hat{y}{\text{target}})
$$

代码实现

Numpy 实现 Softmax + Cross Entropy

import torch

def softmax(logits):
    """
    计算 softmax 函数，将 logits 转换为概率分布
    :param logits: 未经过 softmax 的 logits 张量
    :return: 应用 softmax 之后的概率张量
    """
    exp_logits = torch.exp(logits)
    return exp_logits / torch.sum(exp_logits, dim=-1, keepdim=True)

def cross_entropy_loss_manual(logits, target):
    """
    手动实现交叉熵损失函数
    :param logits: 未经过 softmax 的 logits 张量 (batch_size, num_classes)
    :param target: 真实标签张量 (batch_size)，为类别的索引而不是 one-hot
    :return: 计算得到的交叉熵损失
    """
    # 先计算 softmax 输出
    probs = softmax(logits)
    
    # 取出真实标签对应的概率值 (用 gather 选择每个样本正确标签对应的概率)
    log_probs = torch.log(probs)
    target_log_probs = log_probs[torch.arange(len(target)), target]
    
    # 计算平均交叉熵损失
    loss = -torch.mean(target_log_probs)
    
    return loss

# 测试手动 CrossEntropyLoss
logits = torch.tensor([[2.0, 1.0, 0.1], [0.5, 2.5, 1.5]], dtype=torch.float32)
target = torch.tensor([0, 2], dtype=torch.int64)  # 标签为类别的索引
manual_ce_loss = cross_entropy_loss_manual(logits, target)
print("手动实现交叉熵损失结果: ", manual_ce_loss)

Pytorch实现（自动处理LogSoftmax）

官方文档

import torch
import torch.nn.functional as F

logits = torch.tensor([[2.0, 1.0, 0.1]])
targets = torch.tensor([0])  # 真实标签为类别索引

loss = F.cross_entropy(logits, targets)
print(f"Loss: {loss.item()}")

⚠️ 注意：F.cross_entropy() 自动包括了 softmax 和 log 操作，因此输入应该是未归一化的 logits。

补充：Label Smoothing对交叉熵的影响

什么是Lable Smoothing？

Label Smoothing 是一种正则化技术，用于避免模型过度自信地预测某个类别。在 one-hot 编码中，真实标签为：

[0, 0, 1, 0]  # 100% 相信第 3 类

加入 label smoothing 后，标签会被“平滑”成：

[0.1, 0.1, 0.7, 0.1]  # 不再绝对确信

数学形式：

$$
y^{\text{smooth}}_i = (1 - \epsilon) \cdot y_i + \frac{\epsilon}{C}
$$

• $\epsilon$：平滑因子
• C：类别数

好处

• 减少过拟合
• 提升泛化能力
• 缓解softmax饱和（梯度消失）

Pytorch

从 PyTorch 1.10 开始，torch.nn.CrossEntropyLoss 支持 label_smoothing 参数：

import torch
import torch.nn as nn

logits = torch.tensor([[2.0, 1.0, 0.1]])
targets = torch.tensor([0])

criterion = nn.CrossEntropyLoss(label_smoothing=0.1)
loss = criterion(logits, targets)
print(f"Loss with label smoothing: {loss.item()}")

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补充：
Focal loss：处理类别不平衡