深度学习-Softmax

从概率角度看 Softmax：公式推导、数值稳定性与代码实现

一、引言

在分类任务中，我们常常希望模型输出的是一个概率分布，而非仅仅是 raw logits。Softmax 函数应运而生，它能将任意实数向量“压缩”为概率分布的形式，是神经网络输出层的标配。

转换成概率分布之后的各列别的值分布在0~1的区间中，所有类别的概率和为1.

虽然也是激活函数，但是主要用在输出层（多分类任务中）。

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二、Softmax 的数学定义

对于输入向量$\mathbf{z} = [z_1, z_2, \dots, z_C]$，Softmax 的定义如下：

$$
Softmax(z_i) = \frac{e^{z_i}} { \sum_{j=1}^{C} e^{z_j}}
$$

其输出满足两个性质：

• 所有输出为正： $Softmax(z_i) > 0 $
• 总和为 1：$\sum_i Softmax(z_i) = 1 $

因此，Softmax 的输出可解释为类别的预测概率。

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三、为什么 Softmax 能输出概率分布？

1. 指数函数保证了非负性
   $e^x > 0$ 对任意实数成立。

2. 归一化使得总和为 1
   将所有指数值除以总和，即可得到一个合法的概率分布。

3. 可微性 & 梯度友好
   Softmax 函数是可导的，便于神经网络训练中的反向传播。

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四、数值稳定性问题与解决方法

当 $z_i$ 很大时，$e^{z_i}$容易导致 数值溢出（overflow）。

✅ 解决方法：减去最大值（不影响相对关系）

$$
\text{Softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i - \max(z)}}{\sum_{j} e^{z_j - \max(z)}}
$$

这样可以有效避免过大指数导致的溢出。

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五、代码实现

✅ Numpy 实现

import numpy as np

def softmax(x):
    x = x - np.max(x, axis=-1, keepdims=True)  # 提升数值稳定性
    exp_x = np.exp(x)
    return exp_x / np.sum(exp_x, axis=-1, keepdims=True)

logits = np.array([2.0, 1.0, 0.1])
probs = softmax(logits)
print(probs)  # 输出概率分布

Pytorch

import torch
import torch.nn.functional as F

logits = torch.tensor([[2.0, 1.0, 0.1]])
probs = F.softmax(logits, dim=1)
print(probs)

六、Softmax vs Argmax vs Sigmoid

函数	输出含义	常见用途	是否可导	输出范围
Softmax	多分类概率分布	多分类任务	✅ 可导	(0, 1)，总和为1
Argmax	最大值的索引	推理阶段，选类别	❌ 不可导	整数索引值
Sigmoid	每类独立概率	多标签分类、多输出	✅ 可导	(0, 1)

⚠️ 注意：Sigmoid 用于 多标签任务，Softmax 用于 互斥多分类任务

七、Softmax输出可视化

import torch
import torch.nn.functional as F
import matplotlib.pyplot as plt

# 输入范围：-5 到 5
x = torch.linspace(-5, 5, steps=100)

# 构造 3 类 logits：一个随 x 变化，另两个固定（0 和 -x）
logits = torch.stack([x, torch.zeros_like(x), -x], dim=1)

# 使用 softmax 计算概率（沿类别维度 dim=1）
probs = F.softmax(logits, dim=1)

# 绘图
plt.plot(x.numpy(), probs[:, 0].numpy(), label="Class 0")
plt.plot(x.numpy(), probs[:, 1].numpy(), label="Class 1")
plt.plot(x.numpy(), probs[:, 2].numpy(), label="Class 2")
plt.xlabel("Input value (logit z)")
plt.ylabel("Softmax Probability")
plt.title("Softmax Output vs Input (PyTorch)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

• 当某一类 logit 增大时（比如 x 变大），对应的 softmax 概率也会提高。
• 而其他类的概率会下降。
• Logits 是模型的“原始判断力道”
• Softmax 是把这些力道转成“概率的形式”
• 得分高的类别，变成的概率也会高！

Think：为什么不直接对 logits 用 CrossEntropy？
因为交叉熵定义的是对概率分布的比较：

• logits 是“未归一化的原始分数”
• 概率分布要求的是 softmax 后的“归一化值”

所以你不能直接把 logits 当概率用——需要经过 softmax。

不过 PyTorch 为了效率，让你直接传 logits，它内部帮你做了。

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本文由GPT指导生成